RINGKASAN : Induksi Matematika

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)

• Buktikan bahwa ${\displaystyle 1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}}$ untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=1}$, benar bahwa ${\displaystyle \ S(1)=1^{2}=1}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle S(k)=1+3+5+\cdots +2k-1=k^{2}}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle S(k+1)=1+3+5+\cdots +2k-1+2(k+1)-1=(k+1)^{2}}$

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa ${\displaystyle k^{2}=1+3+5+...+2k-1}$ sesuai dengan pengandaian awal

${\displaystyle [1+3+5+\cdots +2k-1]+2(k+1)-1=k^{2}+2(k+1)-1}$

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

${\displaystyle k^{2}+2(k+1)-1=(k+1)^{2}}$

${\displaystyle \ k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}}$, ingat bahwa ${\displaystyle (k+1)^{2}=k^{2}+2k+1}$

${\displaystyle \ (k+1)^{2}=(k+1)^{2}}$ (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² karena memenuhi kedua langkah pembuktian

• Buktikan bahwa ${\displaystyle 1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$ untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=1}$, benar bahwa ${\displaystyle \ S(1)={\frac {1(1+1)}{2}}=1}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle S(k)=1+2+3+4+5+\cdots +k={\frac {k(k+1)}{2}}}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle S(k+1)=1+2+3+4+5+\cdots +k+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}$

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa ${\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}=1+2+3+4+5+\cdots +k}$ sesuai dengan pengandaian awal

${\displaystyle [1+2+3+4+5+\cdots +k]+k+1={\frac {k(k+1)}{2}}+k+1}$

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

${\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}$

${\displaystyle (k+1)({\frac {k}{2}}+1)={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}$

${\displaystyle (k+1)({\frac {k+2}{2}})={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}$ (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

B. Pertidaksamaan

• Buktikan bahwa ${\displaystyle 4n<2^{n}}$ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=4n<2^{n}}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=5}$, benar bahwa ${\displaystyle 4(5)<2^{5}}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle S(k)=4k<2^{k}}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle S(k+1)=4(k+1)<2^{k+1}}$

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa ${\displaystyle 4k}$ sesuai dengan pengandaian awal

${\displaystyle 4(k+1)=4k+4}$ (karena 4 < 4k)

${\displaystyle =4k+4k}$

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

${\displaystyle 4k+4k<2^{k+1}}$

${\displaystyle 2(4k)<2^{k+1}}$

${\displaystyle 2(2^{k})<2^{k+1}}$, ingat bahwa ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$

${\displaystyle 2^{k+1}<2^{k+1}}$ (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

C. Faktor (termasuk kali atau bagi)

• Buktikan bahwa salah satu faktor dari ${\displaystyle n^{3}+3n^{2}+2n}$ adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=n^{3}+3n^{2}+2n}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=1}$, benar bahwa ${\displaystyle 1^{3}+3(1)^{2}+2(1)=6}$

andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle k^{3}+3k^{2}+2k}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)}$

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari ${\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)}$

${\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+3k^{2}+6k+3+2k+2}$

${\displaystyle =(k^{3}+3k^{2}+2k)+(3k^{2}+9k+6)}$

${\displaystyle =(k^{3}+3k^{2}+2k)+3(k^{2}+3k+2)}$

karena 3 adalah faktor dari ${\displaystyle 3\cdot (k^{2}+3k+2)}$ dan 3 juga merupakan faktor ${\displaystyle k^{3}+3k^{2}+2k}$, maka 3 adalah faktor dari ${\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)}$. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk 3 adalah faktor ${\displaystyle n^{3}+3n^{2}+2n}$ untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

• Buktikan bahwa 3 adalah faktor ${\displaystyle 4^{n}-1}$ untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=4^{n}-1}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=1}$, benar bahwa ${\displaystyle 4^{1}-1=3}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle 4^{k}-1}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle 4^{k+1}-1}$

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari ${\displaystyle 4^{k+1}-1}$

${\displaystyle 4^{k+1}-1=4^{k+1}-4^{k}+4^{k}-1}$

${\displaystyle =4^{k}(4-1)+(4^{k}-1)}$

${\displaystyle =4^{k}3+(4^{k}-1)}$

karena 3 adalah faktor dari ${\displaystyle 4k\cdot 3}$ dan 3 juga merupakan faktor ${\displaystyle 4^{k}-1}$, maka 3 adalah faktor dari ${\displaystyle 4^{k+1}-1}$. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk 3 adalah faktor ${\displaystyle 4^{n}-1}$ untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

• Buktikan bahwa ${\displaystyle 5^{n}-1}$ habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=5^{n}-1}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=1}$, benar bahwa ${\displaystyle 5^{1}-1=4}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle 5^{k}-1}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle 5^{k+1}-1}$

sekarang tunjukkan bahwa ${\displaystyle 5^{k+1}-1}$ habis dibagi 4

${\displaystyle 5^{k+1}-1=5^{k+1}-5^{k}+5^{k}-1}$

${\displaystyle =5^{k}(5-1)+(5^{k}-1)}$

${\displaystyle =5^{k}4+(5^{k}-1)}$

karena ${\displaystyle 5k\cdot 4}$ dan ${\displaystyle 5^{k}-1}$ habis dibagi 4, maka ${\displaystyle 5^{k+1}-1}$ habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk ${\displaystyle 5^{n}-1}$ habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

D. Faktorisasi

• Buktikan bahwa x - y adalah faktor ${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$ untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)=x^{n}-y^{n}}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk ${\displaystyle n=1}$, benar bahwa ${\displaystyle x^{1}-y^{1}=x-y}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle x^{k}-y^{k}}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}}$

sekarang tunjukkan bahwa x - y adalah faktor dari ${\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}}$

${\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}=x^{k+1}-x^{k}y+x^{k}y-y^{k+1}}$

${\displaystyle =x^{k}(x-y)+(x^{k}-y^{k})y}$

karena x - y adalah faktor dari ${\displaystyle x^{k}\cdot (x-y)}$ dan x - y juga merupakan faktor ${\displaystyle (x^{k}-y^{k})\cdot y}$, maka x - y adalah faktor dari ${\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}}$. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk x - y adalah faktor ${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$ untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

E. Barisan

Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2n(n+1)}}}$

Persamaan yang perlu dibuktikan:

${\displaystyle S(n)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2n(n+1)}}}$

Langkah pembuktian pertama:
untuk beberapa penjumlahan ${\displaystyle n}$ dari pertama, benar bahwa

${\displaystyle S(1)={\frac {1}{4}}={\frac {1^{2}}{2(1)(1+1)}}}$

${\displaystyle S(2)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {4}{12}}={\frac {2^{2}}{2(2)(2+1)}}}$

${\displaystyle S(3)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {9}{24}}={\frac {3^{2}}{2(3)(3+1)}}}$

${\displaystyle S(4)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{40}}={\frac {16}{40}}={\frac {4^{2}}{2(4)(4+1)}}}$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk ${\displaystyle n=k}$, yaitu

${\displaystyle S(k)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}={\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}}$, maka akan dibuktikan benar pula untuk ${\displaystyle n=k+1}$, yaitu

${\displaystyle S(k+1)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)((k+1)+1)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa ${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}}$ sesuai dengan pengandaian awal

${\displaystyle [{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}]+{\frac {1}{2(k+1)[(k+1)+1]}}={\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)((k+1)+1)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)(k+2)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$

${\displaystyle {\frac {k^{2}(k+2)+k}{2k(k+1)(k+2)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$

${\displaystyle {\frac {k(k^{2}+2k+1)}{2k(k+1)(k+2)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$

${\displaystyle {\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}$ (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, ${\displaystyle S(n)}$ benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Matematika kuat[sunting | sunting sumber]

Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

S(a), S(a + 1), ..., dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), ..., S(k) semuanya bernilai benar.)